В.В. Ворошилов

 

Технология определения сложности задач по физике

 

В настоящее время - в "эпоху педагогического плюрализма" - учителя многих школ сами проектируют свои уроки, поскольку это является единственным средством обеспечения качественного образования в условиях резко возросшего количества разнообразных педагогических подходов, методик и технологий. Поскольку в понятие "качество образования" одним из основных параметров входит понятие "качество обученности по предмету", то педагоги встают перед необходимостью самостоятельно вводить точные критерии степени обученности. С появлением массовой практики профильных классов, классов и школ с углубленным изучением, лицеев и гимназий и пр., традиционные отметки уже не могут являться надежным показателем качества обученности. Одним из самых распространенных способов оценивания степени освоения предмета в настоящее время является рейтинговая (тестовая, бальная) оценка учебной работы учащихся, которая основывается на анализе выполнения ими системы заданий различной сложности. Применение рейтинговой оценки требует создания механизма точного определения уровня сложности предлагаемых учащимся заданий. В данной работе предлагается механизм определения сложности задач по физике, однако предлагаемый принцип определения сложности может быть распространен и на другие предметы.

В каждый момент времени информацию, содержащуюся в памяти человека, наглядно и условно можно представить в виде "информационных островов", отображающих собственно знание какого-либо конкретного материала, и линий ("нитей"), визуализирующих логические взаимосвязи между "островками" конкретных знаний. "Информационные острова" вместе с "логическими нитями", образуют единую информационно-логическую сеть, отражающую сумму знаний и умений. Обучение (или самообучение) ведет к развитию этой информационно-логической сети. Подобную сеть будем назвать системой операционально взаимосвязанных категорий (СОВК).

"Информационные острова" в своем предельном выражении соответствуют основным понятиям изучаемой науки, в то время как "нити" отражают логические операции, которыми данные понятия связаны. Однако, структура "информационных островов" может быть и более "крупноблочная", когда каждый остров соответствует комплексу ("кластеру") связанных понятий. Построение СОВК в рамках некоторой области теоретического знания похоже на построение таблицы Менделеева в химии, поскольку "информационные острова" являются исходными элементами знания (как химические элементы являются исходными элементами веществ), а "нити" соответствуют возможным химическим реакциям.

Назовем объективной систему категорий, отражающую современные научные представления в изучаемой дисциплине (с точки зрения преподавателя этого предмета, а точнее с точки зрения методологов науки, основы которой преподаются на данном предмете). Назовем субъективной систему категорий, отражающую знания и умения ученика в рамках данного предмета. Процесс обучения представляет собой процесс развития и корректировки субъективной системы категорий, постепенного приближения ее к объективной.

В простейшем случае построение системы взаимосвязанных категорий сводится к построению графической системы (графа), содержащей основные понятия и логические связи между ними.

Подобная схема является наглядным отражением существующих категорий в данной области науки, и их логической взаимосвязи. Утверждения, связывающие понятия, должны позволять производить определенные логические операции с этими понятиями, выстраивая четкую логическую цепочку, соответствующую изучаемому предмету. При построении объективной системы связанных категорий некоего учебного раздела удобно сначала определить все основные утверждения, которые являются наиболее важными при изучении данной темы. Отбираемые утверждения должны быть таковы, чтобы их, в принципе, можно было сформулировать на языке логических операций. Все понятия, входящие в отобранные утверждения, и будут представлять собой те "информационные острова" которые составят основу разрабатываемой системы связанных категорий. Для лучшего понимания логики взаимосвязи понятий друг с другом можно изобразить также и некоторые наиболее существенные "входные" понятия раздела, которые предполагаются уже известными учащимся. Это позволит лучше понять, какими же знаниями учащийся уже должен обладать, чтобы усвоить предлагаемый материал. Построение СВК требует от преподавателя довольно глубокого методологического анализа основ своей дисциплины, однако позволяет наглядно представить возможные логические пути понимания учащимся изучаемого предмета. Построение СОВК позволяет также, как мы это увидим ниже, задать количественные параметры сложности учебных заданий.

Рассмотрим в качестве примера объективную систему взаимосвязанных категорий раздела "кинематика материальной точки", излагаемого в рамках программы по физике для технических ВУЗов (см. рисунок 1, где отображена часть самой схемы взаимосвязанных категорий данного раздела; векторные величины отображены жирным шрифтом).

Разумеется, не все из отобранных утверждений равнозначны по своей важности, некоторые являются следствиями других. Каждый преподаватель может самостоятельно произвести подобный отбор, исходя из своих собственных представлений о степени важности тех или иных утверждений и категорий, знание и понимание которых должно быть, сформировано у учащегося. Выпишем отобранные нами конкретные утверждения темы "Кинематика материальной точки" (определения, законы, наиболее важные следствия), соединяющие категории друг с другом (число обозначает соответствующий квадрат схемы):

1 - 4 D S= D SX i + D SY j + D SZ k

1 - 5 V = VХ i + VY j + VZ k

1 - 7 радиус-вектор r - вектор, про- веденный из начала координат в место нахождения тела

6 - 13 - 18 R = V2/An

1 - 14 A = AX i + AY j + AZ k

1 - 7 - 19 координаты -

компоненты радиус-вектора

3 - 5 - 7 V = rў

3 - 8 V = Sў

3 - 5 - 14 A = Vў

4 - 7 D r = D S 1

3 - 14 - 17 A = At + An

4 - 11 - 16 VC = D S/D t

5 - 6 - 15 t = V/V

6 - 13 - 15, 3 - 13 An = Vt ў

6 - 15 - 17 At = Vў t

8 - 10 - 11 Vс.п. = S/D t

2 - 4 - 5 D S= т V dt

2 - 6 - 8 S = т V dt

 

9 - 11 - 12 AC = D V/D t

2 - 9 - 14 D V = т A dt

7 - 11 - 20 кинематический закон - закон изменения радиус-вектора со временем.

 

 

 

Такие понятия как "вектор", "производная", "интеграл" предполагаются известными учащимся из курса математического анализа ("входные" понятия; связи между ними не отражены).

Построение объективной и субъективной систем взаимосвязанных категорий материала позволяет ввести индивидуальные количественные критерии сложности предлагаемых учащимся заданий. Пусть Nк- количество категорий (т.е. "информационные островов"), необходимых для выполнения какого-либо задания; Nу- количество утверждений, которые необходимо применить для выполнения данного задания (они изображаются на схеме линиями, соединяющими выбранные категории); N - полное количество категорий и утверждений, необходимых для выполнения данного задания (N = Nк + Nу). Число N уже является мерой сложности задания, так как увеличение количества элементов системы всегда ведет к ее усложнению.

Не все возможные утверждения, связывающие необходимые категории, могут быть нужны для выполнения предлагаемого задания. Обозначим через Nв количество всех утверждений, в которые входят рассматриваемые категории (в общем случае Nу < Nв). Все существенные для выполнения задания категории могут быть разделены на два вида: те, которые явно присутствуют в формулировке задания (их количество Nкя) и те, которые в формулировке отсутствуют (их количество Nкн: очевидно, Nк = Nкя + Nкн). Определим Nуя - количество соответствующих утверждений, явно присутствующих в условии задания (хотя бы в виде названия) и Nун - количество утверждений, необходимых для выполнения задания, но полная информация о которых в задании отсутствует (к неявным мы будем относить утверждения, в формулировке которых присутствует хотя бы одна категория, отсутствующая в условии: при этом Nу = Nуя + Nун).

Если учащемуся известны все категории и утверждения, необходимые для выполнения задания, то в этом случае сложность задания будет определяться в основном количеством категорий и утверждений, о необходимости применения которых для выполнения предложенного задания учащийся должен догадаться самостоятельно (т.е. числом Nн = Nкн + Nун). Поэтому, само число Nн может быть принято в качестве количественного критерия сложности задания (причем видно, что эта величина определяется только самим заданием). Назовем число Nн абсолютной объективной сложностью задания (АОСЗ). Кроме абсолютных величин, для описания рассматриваемой ситуации могут оказаться удобными и относительные величины, поэтому введем относительную объективную сложность задания (ООСЗ), равную доле неявных категорий и утверждений по отношению ко всем необходимым для выполнения задания: Nн/N. ООСЗ может оказаться удобной для сравнения степени сложности различных учебных заданий.

Еще более богатая возможностями для исследований и более важная с точки зрения практики ситуация возникает тогда, когда учащийся не знает всех необходимых для выполнения задания категорий и (или) утверждений. Это означает, что субъективная система категорий учащегося, которая тоже может быть представлена в графическом виде, чем либо отличается от объективной (например, отсутствием каких-либо "островов" или " нитей", или наличием "ложных нитей и островов"). В этом случае появляется еще, как минимум, два параметра, описывающих взаимоотношение субъективной и объективной связанных систем категорий: Nк- - количество категорий, необходимых для выполнения задания, но не известных учащемуся, и Nу- - количество утверждений, необходимых для выполнения задания, но также не известных учащемуся. Очевидно, чем больше числа Nк- и Nу-, тем сложнее для него предлагаемое ему задание, даже в том случае, если объективная его сложность невелика. Интуитивно понятно, что выполнение заданий с Nк- = 0 и Nу- = 0 принципиально отличается от выполнения заданий с отличными от нуля Nк- и (или) Nу-. В последнем случае учащийся должен предварительно самостоятельно определить, каких категорий и утверждений ему не хватает для выполнения задания и тем или иным способом найти недостающую информацию (а в более сложной ситуации, ввести самому). При этом следует отличать ситуацию, в которой необходимые учащемуся категории и утверждения когда-либо были ему известны, но забылись на момент выполнения задания, от ситуаций, в которой для выполнения задания учащемуся необходимы знания, принципиально новые для него. Задания последнего типа можно назвать творческими или исследовательскими, и именно они являются самыми сложными с точки зрения их выполнения и с точки зрения их количественного описания (задания, в которых учащиеся должны обнаружить недостаточность своих знаний и умений в теории развивающего обучения по Д.Б. Эльконину и В.В. Давыдову называются учебными задачами). Величину N- = Nк- + Nу-, равную общему количеству категорий и утверждений, необходимых для выполнения задания, но неизвестных учащемуся, назовем абсолютной субъективной сложностью задания (АССЗ). Величину N-/N, равную доле неизвестных ученику, но необходимых для выполнения заданий категорий и утверждений, по отношению ко всем необходимым для выполнения задания категориям и утверждениям, назовем относительной субъективной сложностью задания (ОССЗ).

Часто педагоги различным образом интерпретируют такие термины, как "творческое задание", "нестандартное задание", "сложное задание". В предлагаемом подходе сложным (в узком смысле этого понятия) называется задание с большим количеством понятий и логических утверждений, которые необходимо применить для его выполнения, но известные (в принципе, поскольку были пройдены ранее) учащемуся, т.е. задания с Nн № 0 (АОСЗ), но N- = 0 (АССЗ). Предполагается, что учащийся изучал все алгоритмы, которые необходимо применить для выполнения данных заданий, но количество логических шагов, которые необходимо ему осуществить, достаточно велико. Если для задания N- № 0, но причина отсутствия у учащегося необходимых знаний и умений лежит в его лени или забывчивости, также, то такие задания также считаются "просто" сложными (не творческими).

Задания с N- № 0, в которых учителем заранее проектируется отсутствие у учащихся каких-либо знаний или умений, необходимых для их выполнения, считаются творческими.

Нестандартными заданиями считаются задания, для которых в принципе (если в СОВК включать не только знания и умения по предмету, а все знания и умения учащегося) N- = 0, т.е. вроде бы все необходимые знания и умения у учащихся присутствуют, но часть из них ранее никогда не была использована в связи с изучением предмета (например, это знания из других предметов, или просто из жизненного опыта). Если же в СОВК включать исключительно предметные знания и умения, то такие задания также можно отнести к типу N- № 0.

Рассмотрим теперь, используя приведенную систему связанных категорий, несколько примеров определения сложности задач по физике.

Задача N1 имеет следующее условие: кинематический закон движения имеет заданный вид. Определить координаты тела через три секунды после начала отсчета времени. Для решения этой задачи нужно знать категории 7, 11, 19 и 20 схемы и два утверждения: 7 - 19 и 7 -20. Категория 7 не присутствует явно в условии задания и является неявной. В соответствии с принятым нами определением, оба утверждения также должны считаться неявными. В итоге получаем: N = 6, АОСЗ = Nн = 3, ООСЗ = Nн/N = 0.5 .

Задача N2: кинематический закон движения имеет заданный вид (приводится формула). Определить значение скорости тела через три секунды после начала отсчета времени.

Решение этой задачи требует знания категорий 6, 11, 20, явно присутствующих в условии, категорий 5 и 7, не присутствующих в условии и утверждений 7 - 20, 5 - 7 и 5 - 6, которые нужно считать неявными. Тогда для этой задачи получим следующие объективные характеристики ложности: N = 8, АОСЗ = 5, ООСЗ = 0.625.

Задача N3: кинематический закон движения имеет заданный вид. Определить значение ускорения тела через три секунды после начала отсчета времени.

Категории этой задачи: явные 11, 14, 20, неявные - 5, 7. Утверждения задачи 7 - 20, 5 - 7, 5 - 14 (все неявные). Получаем N = 8, АОСЗ = 5, ООСЗ = 0.625 (в рамках нашей схемы и наших определений сложности заданий N1 и N2 одинаковы).

Приведем пример определения субъективной сложности задания: пусть учащийся решил задачу N1, но не решил задачу N2. Это означает, что он не знаком с понятием "ускорение" и с тем как оно связано с понятием "скорость". Тогда для задачи N2 получаем Nк- = Nу- = 1 и АССЗ = N- = 2, ОССЗ = N-/N = 0.25. Этот пример можно рассматривать и как пример "рентгеноскопии" субъективной системы категорий ученика. В результате такого "сканирования" был установлен конкретный дефект этой системы (отсутствие понятия 14 и связи 5 - 14).

Отметим, что субъективная и объективная сложности одного и того же задания не могут быть сравниваемыми между собой: сравнивать можно лишь объективную сложность одного задания с объективной сложностью другого, или соответствующие субъективные сложности. Это следует из того, что объективная сложность определяется исключительно структурой объективной системы операционально взаимосвязанных категорий и не зависит от личности обучаемого, субъективная же сложность для разных учащихся может быть разная, в зависимости от уровня их предварительной подготовки.

 

Другие публикации: 

 Методика и дидактика занятий по обучению учащихся искусству решения задач по физике (в том числе технологические элементы дифференцированного обучения учащихся)

Проектирование в системе повышения квалификации работников образования

 

Альманах решений задач по физике